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Modifikation

Bei den bisherigen Überlegungen wurde ein Massepunkt betrachtet. Die Frage ist: Was ändert sich, wenn man stattdessen eine Kugel nimmt? Da sich eine Kugel im Gegensatz zum Massepunkt dreht, setzt sich die kinetische Energie aus zwei Teilen zusammen.

(14) E_kin = E_trans + E_rot

mit der Translationsenergie

(15) E_trans = 1/2 m v²

und der Rotationsenergie

(16) E_rot = 1/2 J ω² .

Das Trägheitsmoment J einer homogenen Kugel mit Radius r_K bei Rotation um eine Achse durch den Kugelmittelpunkt ist

(17) J = 2/5 m r_K² .

Für die Winkelgeschwindigkeit ω gilt

(18) ω = v / r_E ,

wobei r_E den effektiven Radius bezeichnet. Bei bekannnter Spurweite w ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras

(19) r_E² = r_K² − (w / 2)² .

Der effektive Radius liegt im Intervall 0 < r_E ≤ r_K.
Durch Einsetzen der Gln. (15-18) in Gl. (14) folgt

(20) E_kin = 1/2 m v² k

mit der Abkürzung

(21) k = 1 + 2/5 (r_K / r_E)² > 1 .

Die frühere Gl. (10) ändert sich dadurch zu

(22) v = √(2 g y / k) .

Da k > 1 gilt, ist die (Translations-)Geschwindigkeit der Kugel kleiner als die des Massepunktes. Klar, ein Teil der Energie steckt ja jetzt in der Kugeldrehung um die eigene Achse.
Gl. (22) kann so interpretiert werden, als ob eine verminderte Fallbeschleunigung

(23) g_k = g / k < g

wirkt. Dieser Trick erspart weitere Rechnungen, weil man die früheren Gleichungen weiterhin anwenden kann. Man muss nur den Wert der Fallbeschleunigung modifizieren. Die rollende Kugel auf der Erde verhält sich so ähnlich wie ein rutschender Massepunkt auf dem Mond. Mit einer Fallbeschleunigung von 1,62 m/s² auf dem Mond und 9,81 m/s² auf der Erde stimmt das zahlenmäßig dann, wenn man r_E = 0,281 r_K wählt. Was der geneigte Leser anhand der Gln. (21) und (23) leicht selbst herleiten kann…

Ergebnis

Bau