Schaukel

	Modell 1
	Prinzip
	Tacoma
	Kurbel
	Motor
	Pendel
	Kurve
	Zykloide
	Modell 2
	Modell 3
	Modell 4
	Ausstellung

Zykloide

Als mein numerisch berechnetes Ergebnis fertig war, hat mich Roland darauf hingewiesen, dass diese Kurve eine Zykloide ist. Eine Zykloide ist eine Rollkurve, die ein Punkt auf einem Kreis beschreibt, wenn der Kreis entlang einer Geraden abrollt.

Dieses Problem wurde schon vor Urzeiten untersucht. Huygens erhielt 1657 für seine Erfindung der Pendeluhr ein Patent. Da ein Kreispendel zu einem unregelmäßigen Lauf der Uhr führte, fragte er sich, ob es ein perfektes Pendel gibt, bei dem die Schwingungsdauer nicht von der Auslenkung abhängt. Die Masse bewegt sich dann entlang einer Isochrone (griechisch: iso = gleich, chronos = Zeit). Das ist die Kurve, auf der eine Masse unabhängig vom Startpunkt immer in der gleichen Zeit zum tiefsten Punkt gelangt. 1673 beschrieb Huygens in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium als Lösung das Zykloidenpendel. Zum Zykloidenpendel gäbe es noch einige interessante Anmerkungen. Das würde an dieser Stelle aber zu weit weg von Kugelbahnen führen.

Eine Zykloide wird durch folgende Formeln beschrieben:

x = A (t + sint)
y = A (1 + cost)

Dabei sind x und y die karthesischen Koordinaten eines Punktes auf der Bahnkurve. Für den Radius A des Kreises kann ein beliebiger positiver Wert gewählt werden, das ist lediglich ein Skalierungsfaktor. Die Größe t ist ein Parameter (im Bogenmaß) und muss nicht unbedingt eine Zeit bedeuten. Wenn t von -π bis π läuft, ergibt sich eine Periode. Die Zykloide hat die Periodenlänge 2Aπ und die Höhe 2A.

Bei geeigneter Wahl von A und nach Spiegelung um die Achse y = A kann man die Zykloide mit meiner numerischen Lösung vergleichen. Werden die beiden Kurven übereinander gelegt, sieht man sofort, dass sie auf Zeichengenauigkeit übereinstimmen. Das ist natürlich kein exakter Beweis, als Plausibilitätskontrolle reicht es aber. Wenn du ein moderneres Buch kennst, in dem Details einer theoretischen Herleitung stehen, schicke mir bitte eine Nachricht.

Aufgepasst: Diese Zykloide ist nicht genau die Form, die du aussägen musst. Du solltest unbedingt die nächsten Seiten lesen, bevor du zum Werkzeug greifst.

Kurve

Modell 2